【文系向け】増減表のかき方と矢印の意味を簡単に解説！【高校数学】

増減表とは？

増減表はグラフを書くときに必要になる表です！

グラフと言っても、３次以上の関数をグラフにするときに必要になります。

二次関数は平方完成して、頂点の座標を求めてグラフを書いてきたと思います。

三次以上の関数でも同じように、山や谷になってるところの頂点

つまり、極大値(一番山になってるところ)と極小値(一番引っ込んでるところ)を求めることで、グラフが書けるようになるんです。

それに加えて↘↗を書き加えたりした増減表を書くことで、より正確なグラフを書くことができます。

とにかく増減表はめっちゃ重要

〇次関数とは、一番次数が大きいものを見ます
(例)　$$f(x)=3x+1⇛１次関数$$
$$f(x)=5+4x^6+3x^5+4x^3⇛６次関数$$
$$f(x)=x^4+3x^2+3⇛４次関数$$

原理を簡単理解！

極小値と極大値をまとめて極値と言います。

①極値の座標を求めよう

まず極大値も極小値どちらも、接線を引いてあげると、‥

どちらも傾きが０になっています。

つまりこれらから次の関係がわかります。

極値をとる点での接線の傾き＝０

要するに、接線の傾きが０になるような座標を探せば良いということです。

②極値の前後でグラフの動き方を見る(矢印の正体はここ！)

①で極値を求めましたが、傾きが０になる座標がわかっただけで、それが極小値なのか極大値なのかまだ分かりません。

そこで、極値の周りの接線の傾きに注目して、極小値か極大値かを判別していきます！

ｘ<aのとき

下のグラフでは、x座標がaより小さいときは、接線の傾きはいつも正になっていますね！

つまり、f'(x)>0ならグラフは右肩上がりになるわけです。(重要)

a<x<bのとき

a<x<bのとき接線の傾きは常に負になっています。

つまり、f'(x)が負になれば、グラフも右肩下がりになるわけです。(重要)

b<xのとき

ラストはb>xのときです。

b>xの時はどこでも接線の傾きは正になっています。

つまり、f'(x)>0ならば、グラフは右肩上がりになっているんです。(重要)

以上のことをまとめると‥‥

・f'(x)>0ならグラフは右肩上がり
・f'(x)<0ならグラフは右肩下がり

これで原理は網羅しました！

次は具体的に増減表を書いてみましょう！

増減表の具体的な書き方

増減表はこのように書きます。

プラスマイナスや↗↘の位置は関数によってもちろん違います。

では手順にそって書き方を紹介します！

ここからy=f(x)について考えます！

手順１

まずは、x,f'(x),f(x) で３行の表を作ります

こんな感じです

f'(x)はy’と書かれることもあり、f(x)はyと書かれることもあります。

手順２

極値のｘ座標(傾きが０になるところ)を見つるため、f'(x)=0を解きます。

すると、xの値がいくつか出ると思います。

そのｘが極値の候補なのですべて一行目にひだりから小さい順に書きます。

今回はx=a,b(a<b)がf'(x)=0の解とすると‥

と書けます。

それ以外のマスにもつながっていることを示すために、…を書いておきます。

関数にy=f(x) (-4<x<8) など、定義域が書かれているときは両端の値も書きます。
例えば(-4<x<8)なら、両端に-4と8を加える..

手順３

次に手順２で埋めたｘの値の下を計算して書き入れます。

f'(a)とf'(b)は傾きですが、極値での接線の傾きなので明らかに0になります。

f(a)とf(b)は関数f(x)にそれぞれの x の値を代入して求めましょう。

こうなりますね♪

手順４

…の下を埋めていきます。

前章の原理で解説した通り、極値と極値の間は傾きは変わりません。

このことを踏まえて、…のところにある数を自分でテキトーにもってきて代入して考えます。

f'(x)の段には、代入した結果が正なら＋

代入して負ならーを書き入れます。

f(x)の行のところには、

上のますが＋なら↗を

上のますがーなら↘を書き入れます。

注意
下の図は、問題によって、プラスマイナスが変わります。矢印の向きも問題によって変わるので注意です♪

これで増減表は完成です！

おまけ

さっきの増減表をもとにグラフを書くとこんな感じ(もちろん問題によってグラフは変わります。)

ここからは、具体的な数で増減表を書いていきましょう！

練習問題で演習してみよう

問題１

$$f(x)=x^3-3x^2-9x+11$$の増減表をかけ。またグラフもかけ。

解答・解説

①まず極値を求める

極値はf'(x)＝０となる所だったから、これを解くと、

$$f'(x)=3x^2-6x-9=0\ \ \ x=-1,3$$

よって増減表を少し埋めてみると、このようになります↓

②次に、二行目のあいているところに＋－を書き入れます。

書き方は、適当なxの値を持ってきて代入すればよかったから、

x<-1のところでは、x=-2を（もちろんx=-10でもそれ以上小さくてもOK）
-1<x<3のところでは、x=0を（もちろん２でも１でもOK）
3<xのところでは、x=4で考えると、(もちろんx=20でもなんでもＯＫ)

f’(-2)>0 ⇛よってx<-1のところではつねに増加しているから＋を書く

f’(0)<0　⇛よって-1<x<3のところでは常に減少しているから－を書く

f’(4)>0 ⇛よって3<xのところでは常に増加しているから＋を書く

これで増減表は完成！

この表を見ながらグラフを書いてみましょう！

こうなります。

極大値と極小値の座標さえ取れてれば、問題ないです♪

---

もう一問

問題２

$$f(x)=-\frac{1}{3}x^3-2x$$の増減を調べ、極値があればその極値を求めよ。グラフもかけ。ただし、実数の範囲内で考えること。

解答・解説

まずは極値の座標を求めましょう。

$$f'(x)=0を解くと、x^2=-2$$

これは実数の範囲内では解けないので、極値はありません。

つまり、山にも谷にもなる所がないということです

想像がつかない人は必要ないですが増減表を書いてみましょう！

こんな感じで描けます。

よって、『極値はなく、単調減少する』が答えです。

問題３

次の関数の増減表を書いて、極値を求めよ。$$f(x)=-2x^3+3x^2+12x$$

解答・解説

解答⇛　x=2で極大値２０，x=4で極小値-32をとる

まずは極値を求めます。

f'(x)=0を解くと、

x=2,-1となるからこれをもとに増減表を書くと、

これで増減表は完成。

極値は、 x=2で極大値２０，x=4で極小値-32をとる

まとめ

増減表を書くには、

①f'(x)=0をとく
②３行の表を書いて、①のｘの値を左から小さい順に記入する
③二行目には、f'(x)>0なら＋をf'(x)<0ならーを記入する
④三行目に、上のマスが＋なら↗を、ーなら↘を記入する

です！

この流れは覚えてしまいましょう。

ほかの記事もぜひご覧ください(^_-)-☆